Expected value a matematika v pokeru

Expected value (česky očekávaný zisk v pokeru) je koncept, který používáme v běžném životě, často aniž bychom si to uvědomovali. Je to myšlenkový proces, který stojí za každou otázkou „Je lepší tohle nebo tohle?“ a za každým zhodnocením očekávaného výsledku více alternativ, které máme k dispozici. Logicky se vždy chceme vždy dopracovat k výstupu, který je pro nás nejvýhodnější. A je jedno, jestli tak činíme při volbě nejrychlejší cesty do práce nebo v pokeru; v obou případě nás špatná volba něco stojí. Matematika v pokeru nám však dává tu výhodu, že si můžeme spočítat, jak na tom jsme (protože poker má na rozdíl od života jasně narýsovaná pravidla hry).

Poker a očekávaný zisk

Pro výpočet expected value potřebujeme znát všechny možné výstupy konkrétní události. Jednoduchý příklad je hod kostkou – představme si, že hodíme kostkou a pokud padne 1-4, vyhrajeme 120 Kč. Pokud padne 5 nebo 6, prohrajeme 120 Kč. Máme tedy šest různých výstupů a známe jejich pravděpodobnost:

Na základě této tabulky vidíme, že při každém hodu kostky máme expected value +40 Kč, což ale neznamená, že je pokaždé získáme. Tabulku si můžeme převést do jednoduché rovnice (4/6 x 120 Kč) + (2/6 x – 120 Kč) – vynásobíme pravděpodobnost toho, že vyhrajeme vítěznou částkou, totéž provedeme s prohrou a výsledky porovnáme. Na základě pravděpodobnosti tak vidíme, že pokud budeme dlouhodobě tuto „hru“ hrát, budeme u každého hodu v průměru 40 Kč vydělávat.

Analogicky můžeme uvést příklad z Texas Holdem pokeru – řekněme, že máme na turnu straight draw a tím pádem máme šanci 17 %, že ho trefíme. Soupeř vsadí all-in 20 dolarů. Pokud bychom dorovnali a trefili náš straight, vyhráli bychom 100 dolarů. Pokud bychom dorovnali a prohráli, ztratíme naši sázku 20 dolarů (plus sázku, která už je v potu, ale ta u tohoto rozhodnutí nehraje roli). Známe tedy sázky i pravděpodobnosti a můžeme si sestavit podobnou rovnici – (17 % x 100 dolarů) + (83 % x -20 dolarů). Výsledek je, že naše pokerové expected value je + 0,40 dolaru, takže je pro nás výhodné srovnat.

Poker expected value je matematický nástroj, který určuje, jestli bude naše akce statisticky výdělečná nebo ne. Pokud máme pozitivní expected value (+EV), dá se předpokládat, že z čistě matematického hlediska bude naše hra zisková. Naopak pokud je negativní (-EV), statisticky budeme prohrávat. EV je možné spočítat u každé akce na základě našich pot odds a dalších faktorů. Hráč, který se rozhoduje tak, že má ve většině případů +EV, bude ve výsledku ziskový (i když samozřejmě může narazit na downswingy, během kterých zkrátka bude i přes pozitivní očekávání prohrávat). Je jasné, že díky určité komplexnosti se nedá dost dobře počítat expected value u každé hry (od toho jsou pot odds), ale při zpětné analýze hodnocení bychom měli klást zřetel na to, jestli byly naše kroky v souladu s pozitivním expected value. Protože celá pokerová strategie je na této snaze založená – ve hře poker očekávaný zisk určuje, jestli hrajeme výdělečně nebo fungujeme jen jako bankomat pro +EV hráče.

Rozdíl mezi pot equity a expected value

Pot equity a expected value jsou často v rámci matematiky v pokeru směšovány. Zatímco pot equity určuje podíl potu, který na základě pravděpodobnosti „náleží“ nám, expected value kombinuje tuto znalost s tím, jak bychom se měli v dané situaci rozhodnout a jaký profit, popř. ztrátu nám to ve výsledku přinese. Řekněme, že máme pot equity 60 % a náš protihráč vsadí all-in 100 dolarů do 300 dolarového potu.

V 60 % případů vyhrajeme $400 – 400 x 0,6 = 240.
Ve 40 % případů prohrajeme $100 – 100 x 0,4 = 40.

Naše expected value je tedy 240 – 40, tj. $200. Pokud budeme v této situaci callovat, v průměru vyhrajeme pokaždé $200, což je znalost, kterou z pouhé procentuální hodnoty nevyčteme. Důležité je si uvědomit, že vztah mezi těmito dvěma hodnotami není vždy jasně daný a i v případě nízkého pot equity může být pro nás z hlediska poker expected value výhodné srovnat, pokud je sázka nízká oproti velikosti potu.